SV – Matematik, kort lärokurs

24.9.2019

Provet består av 13 uppgifter, av vilka tio uppgifter ska lösas. Uppgifterna är indelade i tre delar. Del A består av fyra uppgifter som är obligatoriska för alla. Del B1 består av fem uppgifter av vilka tre ska lösas. Del B2 består av fyra uppgifter av vilka tre ska lösas. Alla uppgifter bedöms med 0–12 poäng, vilket betyder att provets maximala antal poäng är 120.

I del A får du använda tabellbok och de basprogram som ingår i provsystemet. Del A återlämnas med hjälp av tryckknappen efter uppgift 4. Efter detta kan svaren i del A inte längre redigeras och alla program i provsystemet kan användas. Dessutom kan du använda din egen räknare. Du kan även lösa uppgifterna i B-delarna innan du lämnat in del A.

I de flesta uppgifter skrivs lösningarna till alla deluppgifter in i samma svarsfält. Dela in ditt svar enligt deluppgifterna. Om du vill kan du skapa figurer, diagram eller tabeller som stöd för svaret och bifoga en skärmdump av dem till vilket textsvar som helst.

Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.

Del A

Besvara fyra uppgifter.
Obligatoriska uppgifter.

1. Talföljder 12 p.

Formlerna för de allmänna elementen till vissa talföljder är givna nedan. Välj i rullgardinsmenyn om talföljden är aritmetisk, geometrisk, både och eller av varkendera typen.

1.1 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

a_n=3\cdot 2^n

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

1.2 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

b_n=n\cdot 3^n

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

1.3 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

c_n=7^{n+1}

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

1.4 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

d_n=5

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

1.5 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

e_n=2019-1/n

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

1.6 Av vilken typ är talföljden? 2 p.

f_n=3-9n

  aritmetisk geometrisk både och varkendera

2. Sex trianglar 12 p.

Nedan är sex trianglar och någon information om dem givna. Avsikten är att bestämma sidan x eller vinkeln \theta.

Välj för varje triangel den mest lämpliga formeln och skriv i svarsfältet in längden på sidan x eller storleken på vinkeln \theta med en grads noggrannhet. Motivera inte svaren i denna uppgift. I denna uppgift kan du inte använda formeleditorn. Maximilängden för varje svar är 10 tecken.

2.1 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.2 Skriv i svarsfältet in längden på sidan x. 1 p.

I triangeln i fall 2.1. är sidans längd x = längdenheter.

2.3 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.4 Skriv i svarsfältet in storleken på vinkeln \theta. 1 p.

I triangeln i fall 2.3. är vinkelns storlek \theta = °.

2.5 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.6 Skriv i svarsfältet in storleken på vinkeln \theta med en grads noggrannhet. 1 p.

I triangeln i fall 2.5. är vinkelns storlek \theta \approx °.

2.7 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.8 Skriv i svarsfältet in storleken på vinkeln \theta. 1 p.

I triangeln i fall 2.8. är vinkelns storlek \theta = °.

2.9 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.10 Skriv i svarsfältet in längden på sidan x. 1 p.

I triangeln i fall 2.9. är sidans längd x = längdenheter.

2.11 Välj den mest lämpliga formeln för triangeln. 1 p.

 

2.12 Skriv i svarsfältet in storleken på vinkeln \theta med en grads noggrannhet. 1 p.

I triangeln i fall 2.11. är vinkelns storlek \theta \approx °.

3. Parabel och linje 12 p.

Material
  1. Figur: Skärningspunkter
I figur 3.A är parabeln y=4x^2 och en rät linje inritade. Bestäm grafiskt linjens ekvation. Bestäm skärningspunkten P genom beräkning med hjälp av linjens och parabelns ekvationer.
 

4. Siffertrick 12 p.

Erika har utvecklat följande siffertrick och testar tricket på sin kusin Alma. Alma är född 1.2.2000. Erika presenterar följande steg för Alma:

  1. Välj ett tal i intervallet 1–9.
  2. Multiplicera det tal som du valt med talet 2.
  3. Addera talet du får med talet 5.
  4. Multiplicera nu det tal du får med talet 50.
    • Lägg talet 1769 till ditt tal om du redan haft din födelsedag det här året.
    • Lägg talet 1768 till ditt tal om du inte ännu har haft din födelsedag det här året.
  6. Subtrahera ditt födelseår från resultatet.
  7. Berätta vilket resultat du fått.

Då Alma svarar 319 vet Erika berätta att Alma är 19 år gammal och att hon i början valde talet 3.

Förklara matematiskt varför Erikas siffertrick fungerar på Alma, och varför det inte fungerar på Almas gammelmormor som är över 100 år gammal.

 

Du får tillgång till de blockerade räknarprogrammen efter att du returnerat del A.

Del B1

Besvara tre uppgifter.
Lös tre av uppgifterna 5–9. I den här delen får du använda alla program i provsystemet och din egen räknare, efter att du lämnat in svaren i del A.

5. Laddningen i en ackumulator 12 p.

Laddningen i en ackumulator följer modellen a \cdot q^{t}, då t är tiden i timmar, a=100 C och q=0{,}877. Vilken är halveringstiden för ackumulatorns laddning?
 

6. Algoritmiskt tänkande 12 p.

Eleverna i ett lågstadium tränar algoritmiskt tänkande och programmering. Elevernas uppgift är att programmera varandra att exakt följa noggrant givna instruktioner. En elev ger en klasskamrat följande instruktioner:

  1. Starta i punkt A.
  2. Gå exakt 2 meter rakt framåt.
  3. Vänd dig 90 grader åt höger.
  4. Gå exakt 4 meter framåt.
  5. Vänd dig 90 grader åt höger.
  6. Gå exakt 7 meter framåt och du är framme vid punkten B.

6.1 Framställ den rutt som eleven rör sig genom att använda ett lämpligt ritprogram och bildkapningsverktyget. 6 p.

 

6.2 Beräkna avståndet mellan punkterna A och B. 6 p.

 

7. Aktiehandel 12 p.

Material
  1. Datafil: Börskurser

Materialet 7.A består av aktiekurserna för tre olika aktier på Helsingforsbörsen. Robert köpte och sålde aktier enligt dessa aktiekurser. Han köper 1.2.2018 klockan 14.00 aktie B för totalt 1 000 euro. Den 2.2.2018 klockan 10.00 byter han alltsammans till aktie C, och samma dag kl. 18.00 byter han ytterligare en gång alltsammans till aktie A. Han säljer allt 3.2.2018 klockan 16.00. För varje köpuppdrag och säljuppdrag betalar Robert 4,00 euro i förmedlingsavgift. Vid ett byte görs både ett köpuppdrag och ett säljuppdrag.

Hur mycket pengar har Robert efter att han sålt sina aktier?

 

8. Tangenten till en graf 12 p.

Vi undersöker polynomet p(x)=x^3+5x och tangenten till polynomets graf i punkten (1, 6). Bestäm med hjälp av derivatan ekvationen för denna tangent.
 

9. Vektorer / 12-sidig tärning 12 p.

Besvara antingen punkt 9.1 eller 9.2.

Om du väljer den här uppgiften löser du antingen 9.1. ELLER 9.2. (Du kan välja vilken som helst av uppgifterna oberoende av enligt vilken läroplan du studerat.)

9.1 Vektorer 12 p.

(Gamla läroplanen, de som påbörjat gymnasiet före 1.8.2016)

Material
  1. Figur: Parallellogram
Bilden 9.1.A föreställer en parallellogram. Uttryck vektorerna \overline{AE} och \overline{BD} med hjälp av vektorerna \overline{a} = \overline{AB} och \overline{b} = \overline{AD}, då punkten E är mittpunkt på sträckan CD.
 

9.2 12-sidig tärning 12 p.

(Nya läroplanen, de som påbörjat gymnasiet 1.8.2016 eller senare)

Vi kastar två tolvsidiga tärningar, vilkas ögontal är 1, 2, ..., 12. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för ögontalens summa till exempel med hjälp av ett kalkylprogram.
 

Del B2

Besvara tre uppgifter.
Lös tre av uppgifterna 10–13. I den här delen får du använda alla program i provsystemet och din egen räknare, efter att du lämnat in svaren i del A.

10. Medelåldern i en familj 12 p.

Mats och Maj gifter sig då de är 23 respektive 21 år gamla. De får sitt första barn exakt 2 år efter bröllopet. Efter det första barnet föds ytterligare tre barn i familjen med exakt 4 års mellanrum.

När är familjens medelålder som lägst? Vilken är familjens medelålder då?

 

11. Närmevärde för kvadratrot 12 p.

En grupp studerande har som uppgift att bestämma diagonalens längd i en rektangel, vars sidor har längderna 1 och 2. De får emellertid endast använda en räknare med vilken det går att beräkna addition, subtraktion, multiplikation och division, men inte kvadratrot. Studerandena vet att det går att bestämma närmevärden för kvadratroten av talet 5 med följande talföljd:

x_1 = 3, x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{5}{x_n}\right), n\ge 1.

Ivar försöker komma lätt undan och föreslår uppskattningen x_2 för talet \sqrt 5. Simon beslutar sig i stället för att använda uppskattningen x_4. Jämför uppskattningarna x_2 och x_4 med det närmevärde på \sqrt 5 som räknaren ger.

Hur många procent för stora är Ivars och Simons uppskattningar?

 

12. Förhållande mellan storheter 12 p.

12.1 Marmeladskiva 4 p.

Delikatessbitar med ett stort och med ett litet cirkelformat mått skärs ut ur en jämntjock marmeladskiva. Det större måttets diameter är dubbelt så stor som det mindre måttets. Nalle brukar äta tre stora marmeladbitar.

Hur många små bitar borde han äta för att få i sig lika mycket marmelad?

 

12.2 Lasse Lunchare 6 p.

Lasse Lunchare brukar på sin lunch äta två stora potatisar. En dag serveras små potatisar som har en diameter på endast 60 procent av diametern på en stor potatis. Alla potatisar är likformiga med varandra.

Hur många små potatisar borde Lasse äta för att få i sig lika mycket potatis som han brukar?

 

12.3 Musikstycke 2 p.

Det tar 7 minuter och 40 sekunder för en 40 personer stor kör att framföra ett visst musikstycke. Vid ett framförande är tre av körmedlemmarna frånvarande på grund av en influensa.

Hur lång tid tar det att framföra samma musikstycke för en kör med 37 personer?

 

13. Finlands befolkningsstruktur 12 p.

Material
  1. Tabell: Finlands befolkningsstruktur
I material 13.A presenteras Finlands befolkningsstruktur. Beräkna antalet 15–64-åriga invånare åren 1900, 1950, 1990, 2000, 2010 och 2016. Anpassa en linjär modell f(x) och ett polynom av andra graden g(x) till ditt material. Gör med hjälp av båda modellerna en prognos för antalet 15–64-åringar åren 2035 och 2350 samt diskutera hur förnuftiga prognoserna är.
 

Källor

  1. Källa: SEN.
  2. Källa: SEN.
  3. Källa: SEN.
  4. Källa: SEN.
  5. Källa: SEN.
  6. Källa: SEN.

Kontrollera att du har svarat på det antal uppgifter som anges i instruktionerna. Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.