SV – Matematik, kort lärokurs

I den här uppgiften ska du endast skriva in de slutliga resultaten av uträkningarna utan mellansteg och motiveringar i svarsfälten. Svaret på varje deluppgift är ett heltal.

I uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditor. Svaret på varje deluppgift har maximilängden 5 tecken. Svaren bedöms med hjälp av dator, och om instruktionerna inte följs kan det leda till poängavdrag. Man kan få 2 poäng för varje deluppgift.

Då man löser ekvationer används ofta den distributiva lagen exempelvis då man avlägsnar parenteser genom multiplikation;

4(x+1)=4x+4

är ett exempel på att avlägsna parenteser genom multiplikation.

1. Lös ekvationen 12(x-7)=24 med två olika metoder, där du i den ena använder den distributiva lagen och i den andra inte använder lagen. (6 p.)

2. Lös ekvationen (2x+1)(x-6)=0 med två olika metoder, där du i den ena använder den distributiva lagen och i den andra inte använder lagen. (6 p.)

1. En så stor cirkel som möjligt inskrivs i en kvadrat. Cirkelns radie är 6,0 cm. Bestäm radien på den cirkel som går genom kvadratens alla hörn med en noggrannhet på 0,1 cm. (6 p.)

2. En så stor cirkel som möjligt inskrivs i en liksidig triangel. Cirkelns radie är 6,0 cm. Bestäm radien på den cirkel som går genom triangelns alla hörn med en noggrannhet på 0,1 cm. (6 p.)

I tabell 4.A presenteras ett material för längden på ryggen på beagle-hundar.

1. Vilket är materialets typvärde, dvs. modus? (2 p.)

2. Hur många hundar ingår i materialet? (2 p.)

3. Vilket är medelvärdet av längderna på hundarnas ryggar? (8 p.)

Axel och Albin är på en lång vandring. Då de en dag har gått en tredjedel av sin dagsetapp beslutar de sig för att gå ytterligare 7 km innan lunchpausen. Efter lunchen märker de att hälften av den planerade dagsetappen återstår. Hur lång är den planerade dagsetappen?

Vi undersöker den vinst som en återförsäljare gör. För enkelhetens skull beaktas inte beskattningen i uppgiften.

1. En återförsäljare betalade en partihandlare 120 euro för en jacka. Jackan gick inte åt i försäljningen, så återförsäljaren sänkte priset med 10 %. Vilket borde jackans försäljningspris vara för att återförsäljaren efter rabatten på 10 % ska göra en vinst på 20 %? (6 p.)

2. En återförsäljare betalade en partihandlare 140 euro för ett par festskor och satte priset 199 euro på skorna. Skorna gick dock inte åt till det priset, så återförsäljaren beslöt sig för att sänka priset. Vilken är den högsta möjliga rabattprocenten om hon vill göra en vinst på minst 20 % och rabattprocenten måste vara ett heltal? (6 p.)

Mats ska köpa en elbil eller en bil med förbränningsmotor. Han jämför alternativ utifrån uppskattningarna i tabell 7.A.

Mats behöver ett lån med jämn amortering för bilens fulla pris. Lånets årsränta är 2,4 % (dvs. månadsräntan är 0,2 %) och amorteringen är 200 euro per månad.

Beräkna bilarnas värden och hur mycket som återstår av lånen efter fem år. Beräkna även användningskostnaderna för bilarna och räntekostnaderna för lånen under de fem åren. Vilket alternativ skulle ha varit mer ekonomiskt efter fem års användning? Du behöver inte beakta förändringen av pengarnas värde, dvs. inflationen eller deflationen, i den här uppgiften.

Till talet 10 adderas differensen av ett positivt tals kvadrat och talets kub. Bestäm med hjälp av derivatan det största möjliga värdet som man kan få på detta sätt.

Ett prov innehåller 10 flervalsuppgifter. I varje uppgift finns fyra svarsalternativ, av vilka endast ett är korrekt. För ett korrekt svar får man 3 poäng och för ett felaktigt svar får man –1 poäng. Till slut adderas poängen, och om summan är negativ så ändras den till poängsumman noll.

1. En studerande kan inte besvara någon av uppgifterna på basis av sina kunskaper och han besvarar alla uppgifter genom att gissa. Med vilken sannolikhet får han noll poäng i provet? (6 p.)

2. En annan studerande klarar av att utesluta ett felaktigt svarsalternativ i varje uppgift, och hon besvarar alla uppgifter genom att gissa på något av de återstående alternativen. Med vilken sannolikhet får hon fulla poäng i provet? (6 p.)

En talföljd börjar med talen 4 och 9. Hur många av talföljdens element är mindre än 1 000, om talföljden är

1. aritmetisk (6 p.)

2. geometrisk? (6 p.)

Under coronaviruspandemins andra våg hösten 2020 rapporterades i Finland antalet smittfall under de föregående två veckorna (14 dygn). Den 7 september var detta antal 389 medan antalet två veckor senare, den 21 september, var 719 fall av coronavirussmitta. (Källa: www.hs.fi. Hämtad 21.9.2020.) Vi antar att det observerade antalet smittfall följer en exponentiell modell.

1. Hur många fall av coronavirussmitta observerades enligt modellen under den två veckor långa perioden före datumet 8.1.2021? Den 8 januari är 140 dygn efter datumet 21.9.2021. (4 p.)

2. Vi betecknar antalet dygn med variabeln t så att datumet 7.9.2020 motsvarar värdet t=0. Enligt den exponentiella modellen gäller för antalet observerade smittfall k under de föregående två veckorna formeln k=a \cdot 2^{bt}. Bestäm konstanterna a och b. (4 p.)

3. Diskutera orsakerna till att den modell som används i den här uppgiften inte utgör en bra prognos för utvecklingen av antalet smittfall i ett långt tidsperspektiv. (4 p.)

Det nuvarande priset för en produkt är 60 euro. En köpman uppskattar att han med det priset säljer 1 000 stycken av produkten. För att höja försäljningsintäkterna bestämmer köpmannen sig för att ändra produktens pris. Utifrån erfarenheter från försäljning av en motsvarande produkt uppskattar köpmannen att för varje euro som priset höjs minskar försäljningen med tio stycken. På motsvarande sätt ökar försäljningen av produkten med tio stycken för varje euro som priset sänks.

1. Hur stora är försäljningsintäkterna om produktens pris är 55 euro? (2 p.)

2. Bilda en funktion f(x) som ger en modell av försäljningsintäkterna då x är förändringen av produktens pris, samt beräkna funktionens derivata f'(x). (5 p.)

3. Bestäm det pris på produkten för vilket de största möjliga försäljningsintäkterna uppnås. (5 p.)

Kanten på en träkub har längden 2,0 cm. Vi granskar två polyedrar som vi får genom att såga bort pyramidformade kroppar från kubens hörn på de sätt som är beskrivna nedan, se figur 13.A.

1. På kubens sidoytor ritas sträckor, som förenar mittpunkterna på kanter som ligger bredvid varandra. Från kubens hörn avlägsnas pyramiderna, för vilka kanterna till basytan utgörs av de uppritade sträckorna. Bestäm volymen av den polyeder som vi får på detta sätt. (6 p.)

2. På kubens sidoytor ritas sådana sträckor, vilkas ändpunkter är belägna på kanter som ligger bredvid varandra, så att det bildas en regelbunden åttahörning på varje sidoyta. Från kubens hörn avlägsnas pyramiderna, för vilka kanterna till basytan utgörs av de uppritade sträckorna. Bestäm arean av den polyeder som vi får på detta sätt. (6 p.)