FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

24.9.2019

Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.

A-osassa saat käyttää taulukkokirjaa ja koejärjestelmän tarjoamia perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jäljessä olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Lisäksi saat käyttöön oman laskimesi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.

Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.

Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.

A-osa

Vastaa neljään tehtävään.
Pakolliset tehtävät.

1. Lukujonot 12 p.

Alla on annettu eräiden lukujonojen yleisten termien lausekkeet. Valitse kunkin jonon alasvetovalikosta, onko jono aritmeettinen, geometrinen, kumpaakin vai ei kumpaakaan tyyppiä.

1.1 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

a_n=3\cdot 2^n a n = 3 2 n

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

1.2 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

b_n=n\cdot 3^n b n = n 3 n

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

1.3 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

c_n=7^{n+1} c n = 7 n + 1

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

1.4 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

d_n=5 d n = 5

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

1.5 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

e_n=2019-1/n e n = 2019 1 / n

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

1.6 Mitä tyyppiä lukujono on? 2 p.

f_n=3-9n f n = 3 9 n

  aritmeettinen geometrinen kumpaakin ei kumpaakaan

2. Kuusi kolmiota 12 p.

Alla on esitetty kuusi kolmiota, joista on annettu joitakin tietoja. Tarkoituksena on ratkaista sivu x x tai kulma \theta θ .

Valitse kunkin kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava ja kirjoita vastauskenttään sivun x x pituus tai kulman \theta θ suuruus asteen tarkkuudella. Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 10 merkkiä.

2.1 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.2 Kirjoita vastauskenttään sivun x x pituus. 1 p.

Kohdan 2.1. kolmiossa pätee sivun pituudelle x = x = yksikköä.

2.3 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.4 Kirjoita vastauskenttään kulman \theta θ suuruus. 1 p.

Kohdan 2.3. kolmiossa pätee kulman suuruudelle \theta = θ = ° ° .

2.5 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.6 Kirjoita vastauskenttään kulman \theta θ suuruus asteen tarkkuudella. 1 p.

Kohdan 2.5. kolmiossa pätee kulman suuruudelle \theta \approx θ ° ° .

2.7 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.8 Kirjoita vastauskenttään kulman \theta θ suuruus. 1 p.

Kohdan 2.8. kolmiossa pätee kulman suuruudelle \theta = θ = ° ° .

2.9 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.10 Kirjoita vastauskenttään sivun x x pituus. 1 p.

Kohdan 2.9. kolmiossa pätee sivun pituudelle x = x = yksikköä.

2.11 Valitse kolmion osalta tilanteeseen parhaiten soveltuva kaava. 1 p.

 

2.12 Kirjoita vastauskenttään kulman \theta θ suuruus asteen tarkkuudella. 1 p.

Kohdan 2.11. kolmiossa pätee kulman suuruudelle \theta \approx θ ° ° .

3. Paraabeli ja suora 12 p.

Kuvassa 3.A on paraabeli y=4x^2 y = 4 x 2 ja eräs suora. Määritä graafisesti suoran yhtälö. Määritä laskemalla leikkauspiste P P suoran ja paraabelin yhtälöiden avulla.
 

4. Numerotemppu 12 p.

Riikka on kehittänyt seuraavan numerotempun ja testaa sitä serkullaan Almalla. Alma on syntynyt 1.2.2000. Riikka esittää Almalle seuraavat askeleet:

  1. Valitse luku väliltä 1–9 1 9 .
  2. Kerro valitsemasi luku luvulla 2 2 .
  3. Lisää saamaasi lukuun 5 5 .
  4. Kerro nyt saamasi luku luvulla 50 50 .
    • Jos olet jo viettänyt syntymäpäivääsi tänä vuonna, lisää lukuusi luku 1769 1769 .
    • Jos et ole vielä viettänyt syntymäpäivääsi tänä vuonna, lisää lukuusi luku 1768 1768 .
  5. Vähennä nyt tuloksesta syntymävuotesi.
  6. Kerro, minkä tuloksen olet saanut.

Kun Alma vastaa 319 319 , niin Riikka tietää kertoa, että Alma on 19 19 -vuotias ja että hän valitsi alussa luvun 3 3 .

Selitä matemaattisesti, miksi Riikan numerotemppu toimi Almalle, ja miksei se toimi Alman isoisoäidille, joka on yli 100 100 -vuotias.

 

Saat estetyt laskinohjelmat käyttöön palautettuasi A-osan.

B1-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.
Ratkaise kolme tehtävistä 5–9. Tässä osassa saat käyttää kaikkia koejärjestelmän ohjelmia ja omaa laskintasi, kun olet palauttanut A-osan vastaukset.

5. Akun varaus 12 p.

Akun varausta kuvaa malli a \cdot q^{t} a q t , kun t t on aika tunneissa, a=100 a = 100 C ja q=0{,}877 q = 0,877 Mikä on akun varauksen puoliintumisaika?
 

6. Algoritmista ajattelua 12 p.

Alakoulun oppilaat harjoittelevat algoritmista ajattelua ja ohjelmointia. Oppilaiden tehtävänä on ohjelmoida toisiaan toimimaan täsmälleen tarkasti annettujen ohjeiden mukaan. Eräs oppilas antaa luokkatoverilleen seuraavat ohjeet:

  1. Aloita pisteestä A.
  2. Kulje täsmälleen 2 2 metriä suoraan eteenpäin.
  3. Käänny 90 90 astetta oikealle.
  4. Kulje täsmälleen 4 4 metriä eteenpäin.
  5. Käänny 90 90 astetta oikealle.
  6. Kulje täsmälleen 7 7 metriä eteenpäin ja olet perillä pisteessä B.

6.1 Esitä oppilaan kulkema reitti käyttämällä sopivaa piirto-ohjelmaa ja kuvakaappaustyökalua. 6 p.

 

6.2 Laske pisteiden A ja B välinen etäisyys. 6 p.

 

7. Osakekaupat 12 p.

Aineistossa 7.A on Helsingin pörssin kolmen eri osakkeen osakekurssit, joiden mukaisin hinnoin Roope osti ja myi osakkeita. Hän ostaa 1.2.2018 kello 14.00 osaketta B yhteensä 1 000 eurolla. Hän vaihtaa 2.2.2018 kello 10.00 kaiken osakkeeseen C, ja samana päivänä kello 18.00 hän vaihtaa edelleen kaiken osakkeeseen A. Hän myy kaiken 3.2.2018 kello 16.00. Jokaisesta osto- ja myyntitoimeksiannosta Roope maksaa 4,00 euroa välityspalkkiota. Vaihdon yhteydessä tapahtuu sekä myynti- että ostotoimeksianto.

Kuinka paljon Roopella on rahaa osakkeet myytyään?

 

8. Kuvaajan tangentti 12 p.

Tarkastellaan polynomia p(x)=x^3+5x p ( x ) = x 3 + 5 x ja sen kuvaajan tangenttia pisteessä (1, 6) ( 1 , 6 ) . Määritä derivaatan avulla tämän tangentin yhtälö.
 

9. Vektorit / 12-sivuinen noppa 12 p.

Vastaa joko kohtaan 9.1 tai 9.2.

Jos valitset tämän tehtävän, ratkaise joko 9.1. TAI 9.2. (Voit valita kumman tahansa tehtävän riippumatta siitä, minkä opetussuunnitelman mukaisesti olet opiskellut.)

9.1 Vektorit 12 p.

(Vanha opetussuunnitelma, ennen 1.8.2016 lukion aloittaneet)

Kuvassa 9.1.A on suunnikas. Esitä vektorit \overline{AE} A E ¯ ja \overline{BD} B D ¯ vektorien \overline{a} = \overline{AB} a ¯ = A B ¯ ja \overline{b} = \overline{AD} b ¯ = A D ¯ avulla lausuttuina, kun piste E E on janan CD C D keskipiste.
 

9.2 12-sivuinen noppa 12 p.

(Uusi opetussuunnitelma, 1.8.2016 tai sen jälkeen lukion aloittaneet)

Heitetään kahta 12-sivuista noppaa, joiden silmäluvut ovat 1, 2, ..., 12. Laske tulosten summan odotusarvo ja keskihajonta esimerkiksi taulukkolaskentaohjelman avulla.
 

B2-osa

Vastaa kolmeen tehtävään.
Ratkaise kolme tehtävistä 10–13. Tässä osassa saat käyttää kaikkia koejärjestelmän ohjelmia ja omaa laskintasi, kun olet palauttanut A-osan vastaukset.

10. Perheen keski-ikä 12 p.

Matti ja Maija menevät naimisiin, kun he ovat 23 23 - ja 21 21 -vuotiaita. Heille syntyy ensimmäinen lapsi tasan 2 2 vuotta häiden jälkeen. Esikoisen jälkeen perheeseen syntyy vielä kolme lasta tasan 4 4 vuoden välein.

Milloin perheen keski-ikä on pienimmillään? Mikä on perheen keski-ikä silloin?

 

11. Neliöjuuren likiarvo 12 p.

Opiskelijoiden tehtävänä on määrittää lävistäjän pituus sellaiselle suorakulmiolle, jonka sivujen pituudet ovat 1 1 ja 2 2 . Käytössä on kuitenkin vain laskin, jolla voi laskea yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja, mutta ei neliöjuuria. Opiskelijat tietävät, että luvun 5 5 neliöjuurelle voi määrittää likiarvoja seuraavan jonon avulla:

x_1 = 3, x 1 = 3 , x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{5}{x_n}\right), n\ge 1. x n + 1 = 1 2 ( x n + 5 x n ) , n 1.

Ilpo yrittää päästä helpolla ja tarjoaa luvulle \sqrt 5 5 arviota x_2 x 2 . Simo puolestaan päättää käyttää arviota x_4 x 4 . Vertaa arvioita x_2 x 2 ja x_4 x 4 laskimen antamaan luvun \sqrt 5 5 likiarvoon.

Kuinka monta prosenttia liian suuria Ilpon ja Simon arviot ovat?

 

12. Suureiden suhteet 12 p.

12.1 Marmeladilevy 4 p.

Tasapaksusta marmeladilevystä leikataan herkkupaloja isolla ja pienellä ympyränmuotoisella muotilla. Ison muotin halkaisija on kaksi kertaa niin suuri kuin pienen. Namuska on tottunut syömään kolme isoa marmeladipalaa.

Kuinka monta pientä palaa hänen pitäisi syödä saadakseen yhtä paljon marmeladia?

 

12.2 Lassi Lounastaja 6 p.

Lassi Lounastaja on tottunut syömään lounaallaan kaksi isoa perunaa. Eräänä päivänä tarjolla on pieniä perunoita, joiden halkaisija on vain 60 60 prosenttia ison perunan halkaisijasta. Kaikki perunat ovat yhdenmuotoisia.

Kuinka monta pikkuperunaa Lassin pitäisi syödä saadakseen saman verran perunaa?

 

12.3 Musiikkikappale 2 p.

Erään musiikkikappaleen esittämiseen kuluu 40 40 -henkiseltä kuorolta 7 7 minuuttia ja 40 40 sekuntia. Eräässä esityksessä kolme kuoron jäsentä on flunssan takia poissa.

Kuinka kauan tämän kappaleen esittämiseen kuluu 37 37 -henkiseltä kuorolta?

 

13. Suomen väestön rakenne 12 p.

Aineistossa 13.A on esitetty Suomen väestön rakenne. Laske 15–64-vuotiaiden asukkaiden lukumäärät vuosina 1900, 1950, 1990, 2000, 2010 ja 2016. Sovita laskemaasi aineistoon lineaarinen malli f(x) f ( x ) ja toisen asteen polynomi g(x) g ( x ) Ennusta molempien mallien avulla Suomen 15–64-vuotiaiden lukumäärät vuosina 2035 ja 2350 ja pohdi ennusteiden mielekkyyttä.
 

Lähteet

  1. Lähde: YTL.
  2. Lähde: YTL.
  3. Lähde: YTL.
  4. Lähde: YTL.
  5. Lähde: YTL.
  6. Lähde: YTL.

Tarkista, että vastasit ohjeiden mukaiseen määrään tehtäviä. Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.