FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti, ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta kohdasta voi saada 2 pistettä.

Yhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein osittelulakia esimerkiksi silloin, kun kerrotaan sulut auki;

4 *(x +1) =4 x +4

on esimerkki sulkujen aukikertomisesta.

1. Ratkaise yhtälö 12 *(x -7) =24 kahdella eri tavalla, joista toisessa käytetään osittelulakia ja toisessa ei käytetä. (6 p.)

2. Ratkaise yhtälö (2 x +1) *(x -6) =0 kahdella eri tavalla, joista toisessa käytetään osittelulakia ja toisessa ei käytetä. (6 p.)

1. Neliön sisään piirretään mahdollisimman suuri ympyrä. Ympyrän säde on 6,0 cm. Määritä neliön kaikkien kärkien kautta kulkevan ympyrän säde 0,1 cm:n tarkkuudella. (6 p.)

2. Tasasivuisen kolmion sisään piirretään mahdollisimman suuri ympyrä. Ympyrän säde on 6,0 cm. Määritä kolmion kaikkien kärkien kautta kulkevan ympyrän säde 0,1 cm:n tarkkuudella. (6 p.)

Taulukossa 4.A on esitetty aineisto beagle-koirien selän pituudesta.

1. Mikä on aineiston tyyppiarvo eli moodi? (2 p.)

2. Kuinka monta koiraa aineistoon sisältyy? (2 p.)

3. Mikä on aineiston koirien selän pituuden keskiarvo? (8 p.)

Aku ja Aulis ovat pitkällä vaelluksella. Käveltyään eräänä päivänä kolmasosan päivämatkastaan he päättävät kävellä vielä 7 km ennen lounastaukoa. Lounaan jälkeen he huomaavat, että jäljellä on puolet aiotusta päivämatkasta. Kuinka pitkä aiottu päivämatka on?

Tarkastellaan jällenmyyjän tekemää voittoa. Yksinkertaisuuden vuoksi tehtävässä ei oteta verotusta huomioon.

1. Jälleenmyyjä maksoi takista tukkukauppiaalle 120 euroa. Takki ei mennyt kaupaksi, joten jälleenmyyjä alensi hintaa 10 %:a. Mikä takin myyntihinnan pitää olla, jotta 10 %:n alennuksen jälkeen jälleenmyyjä tekee 20 %:a voittoa? (6 p.)

2. Jälleenmyyjä maksoi juhlakengistä tukkukauppiaalle 140 euroa ja asetti kenkien hinnaksi 199 euroa. Kengät eivät kuitenkaan menneet kaupaksi tähän hintaan, joten jälleenmyyjä päätti alentaa hintaa. Mikä on suurin mahdollinen alennusprosentti, jos hän haluaa tehdä vähintään 20 %:a voittoa ja alennusprosentin pitää olla kokonaisluku? (6 p.)

Matti aikoo ostaa joko sähkö- tai polttomoottoriauton. Hän vertailee vaihtoehtoja taulukon 7.A arvioiden perusteella.

Matti tarvitsee auton koko hinnan suuruisen tasalyhennyslainan. Lainan vuosikorko on 2,4 % (jolloin kuukausikorko on 0,2 %) ja lyhennys 200 euroa kuukaudessa.

Laske autojen arvot ja jäljellä olevien lainojen määrät viiden vuoden kuluttua. Laske myös autojen käyttökustannukset ja lainojen korkokustannukset viiden vuoden aikana. Kumpi vaihtoehto olisi ollut viiden vuoden käytön jälkeen taloudellisempi valinta? Tehtävässä ei tarvitse ottaa huomioon rahan arvon muutosta, eli inflaatiota tai deflaatiota.

Lukuun 10 lisätään erään positiivisen luvun neliön ja kuution erotus. Määritä derivaatan avulla suurin mahdollinen arvo, joka näin voidaan saada.

Kokeessa on 10 monivalintatehtävää. Jokaisessa tehtävässä on neljä vaihtoehtoa, joista vain yksi on oikein. Oikeasta vastauksesta saa 3 pistettä ja väärästä saa –1 pistettä. Lopuksi pisteet lasketaan yhteen, ja jos summa on negatiivinen, se muutetaan pistemääräksi nolla.

1. Eräs opiskelija ei osaa vastata yhteenkään tehtävään tietojensa pohjalta, ja hän vastaa kaikkiin tehtäviin arvaamalla. Millä todennäköisyydellä hän saa kokeesta nolla pistettä? (6 p.)

2. Toinen opiskelija pystyy sulkemaan jokaisesta tehtävästä pois yhden väärän vastausvaihtoehdon, ja hän vastaa kaikkiin tehtäviin arvaamalla jäljellä olevista vaihtoehdoista. Millä todennäköisyydellä hän saa kokeesta täydet pisteet? (6 p.)

Lukujono alkaa luvuilla 4 ja 9. Kuinka moni lukujonon jäsen on pienempi kuin 1 000, jos lukujono on

1. aritmeettinen (6 p.)

2. geometrinen? (6 p.)

Syksyllä 2020 koronaviruspandemian toisen aallon alkuvaiheessa Suomessa raportoitiin edeltävien kahden viikon (14 vuorokauden) aikana havaittujien tartuntatapausten lukumääriä. Tämä lukumäärä oli 7. syyskuuta 389 ja kaksi viikkoa myöhemmin 21. syyskuuta 719 koronavirustartuntaa. (Lähde: www.hs.fi. Luettu 21.9.2020.) Oletetaan, että havaittujen tartuntojen määrä noudattaa eksponentiaalista mallia.

1. Kuinka monta koronavirustartuntaa havaittiin mallin mukaan päivämäärää 8.1.2021 edeltävällä kahden viikon jaksolla? Tammikuun 8. päivä on 140 vuorokautta päivämäärän 21.9.2020 jälkeen. (4 p.)

2. Merkitään muuttujalla t aikaa vuorokausina niin, että päivämäärä 7.9.2020 vastaa arvoa t =0. Eksponentiaalisen mallin mukaan edeltävän kahden viikon aikana havaittujen tapausten lukumäärälle k pätee k =a *2^(b t). Määritä vakiot a ja b. (4 p.)

3. Pohdi syitä sille, miksi tässä tehtävässä käytetty malli ei ole hyvä ennuste tartuntamäärien kehitykselle pitkällä aikavälillä. (4 p.)

Tuotteen nykyinen hinta on 60 euroa. Kauppias arvioi, että tällä hinnalla tuotetta myydään 1 000 kappaletta. Myyntituloja kasvattaakseen kauppias päättää muuttaa tuotteen hintaa. Vastaavan tuotteen myynnistä kertyneen kokemuksen perusteella kauppias arvioi, että jokainen euro, jolla tuotteen hinta nousee, vähentää myyntiä kymmenellä kappaleella. Vastaavasti jokainen euro, jolla tuotteen hintaa laskee, kasvattaa myyntiä kymmenellä kappaleella.

1. Kuinka suuret myyntitulot ovat, jos tuotteen hinta on 55 euroa? (2 p.)

2. Muodosta myyntituloja mallintava funktio f(x), kun x on tuotteen hinnan muutos, ja laske sen derivaatta f’(x). (5 p.)

3. Määritä se tuotteen hinta, jolla saadaan suurimmat mahdolliset myyntitulot. (5 p.)

Puisen kuution särmän pituus on 2,0 cm. Tarkastellaan kahta monitahokasta, jotka saadaan sahaamalla pois kuutioiden nurkista pyramidin muotoiset kappaleet, alla kuvatuilla tavoilla, ks. kuva 13.A.

1. Piirretään kuution tahkoihin janat, jotka yhdistävät vierekkäisten särmien keskipisteet. Poistetaan kuution nurkista pyramidit, joiden pohjasärminä ovat piirretyt janat. Määritä näin saadun monitahokkaan tilavuus. (6 p.)

2. Piirretään kuution tahkoihin sellaiset janat, joiden päätepisteet ovat vierekkäisillä särmillä niin, että tahkoihin muodostuu säännöllinen 8-kulmio. Poistetaan kuution nurkista pyramidit, joiden pohjasärminä ovat piirretyt janat. Määritä näin saadun monitahokkaan pinta-ala. (6 p.)