FI – Matematiikka, lyhyt oppimäärä
23.3.2022
Koe koostuu 13 tehtävästä, joista vastataan kymmeneen. Tehtävät on jaettu kolmeen osaan. A-osassa on neljä kaikille pakollista tehtävää. B1-osassa on viisi tehtävää, joista vastataan kolmeen. B2-osassa on neljä tehtävää, joista vastataan kolmeen. Kaikki tehtävät arvostellaan pistein 0–12, joten kokeen maksimipistemäärä on 120.
A-osassa saat käyttää koejärjestelmässä olevaa taulukkokirjaa ja perusohjelmia. A-osa palautetaan tehtävän 4 jälkeen olevalla painikkeella. Tämän jälkeen A-osan vastauksia ei voi enää muokata. A-osan palauttamisen jälkeen kaikki koejärjestelmän ohjelmat ovat käytettävissäsi. Voit vastata B-osien tehtäviin myös ennen A-osan palauttamista.
Useimmissa tehtävissä kaikkien osatehtävien vastaukset kirjoitetaan samaan vastauskenttään. Jaottele vastauksesi osatehtävien mukaisesti. Halutessasi voit tuottaa vastausten tueksi piirroksia, kaavioita tai taulukoita ja liittää niistä kuvakaappauksen mihin tahansa tekstivastaukseen.
Älä jätä mitään merkintöjä sellaisen tehtävän vastaukselle varattuun tilaan, jota et halua jättää arvosteltavaksi.
A-osa
Vastaa neljään tehtävään.1. Peruslaskuja 12 p.
Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.
Tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria. Kunkin vastauksen maksimipituus on 5 merkkiä. Vastaukset arvostellaan tietokoneavusteisesti, ja ohjeiden noudattamatta jättäminen voi johtaa pistevähennyksiin. Jokaisesta kohdasta voi saada 2 pistettä.
1.1 Lausekkeen (-9) *(42 -35) arvo on 2 p.
1.2 Funktion f(x) =4 x -12 nollakohta on 2 p.
x=
1.3 Suora kulkee pisteiden A =(1, 15) ja B =(7, 81) kautta. Suoran kulmakerroin on 2 p.
k=
1.4 Lausekkeen 6^3 *2^(-2) arvo on 2 p.
1.5 Geometrinen lukujono alkaa luvuilla a_1 =256, a_2 =128 ja a_3 =64. Lukujonon viides jäsen on 2 p.
a_5=
1.6 Yhtälön 2^(2 x -5) =8 ratkaisu on 2 p.
x=
2. Useita ratkaisutapoja 12 p.
Yhtälöitä ratkaistaessa käytetään usein osittelulakia esimerkiksi silloin, kun kerrotaan sulut auki;
4 *(x +1) =4 x +4
on esimerkki sulkujen aukikertomisesta.
Ratkaise yhtälö 12 *(x -7) =24 kahdella eri tavalla, joista toisessa käytetään osittelulakia ja toisessa ei käytetä. (6 p.)
Ratkaise yhtälö (2 x +1) *(x -6) =0 kahdella eri tavalla, joista toisessa käytetään osittelulakia ja toisessa ei käytetä. (6 p.)
3. Sisään ja ympäri piirretyt ympyrät 12 p.
Neliön sisään piirretään mahdollisimman suuri ympyrä. Ympyrän säde on 6,0 cm. Määritä neliön kaikkien kärkien kautta kulkevan ympyrän säde 0,1 cm:n tarkkuudella. (6 p.)
Tasasivuisen kolmion sisään piirretään mahdollisimman suuri ympyrä. Ympyrän säde on 6,0 cm. Määritä kolmion kaikkien kärkien kautta kulkevan ympyrän säde 0,1 cm:n tarkkuudella. (6 p.)
4. Frekvenssitaulukko 12 p.
Aineisto
Taulukossa 4.A on esitetty aineisto beagle-koirien selän pituudesta.
Mikä on aineiston tyyppiarvo eli moodi? (2 p.)
Kuinka monta koiraa aineistoon sisältyy? (2 p.)
Mikä on aineiston koirien selän pituuden keskiarvo? (8 p.)
Voit käydä tarkastelemassa A-osan vastauksiasi nyt.
Palautettuasi A-osan et voi enää muokata A-osan vastauksia.
Tarkastelun jälkeen voit palata kokeeseen jatkamaan tehtäviin vastaamista.
•••
Saat estetyt laskinohjelmat käyttöösi palautettuasi A-osan.
B1-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.5. Päivämatkan pituus 12 p.
Aku ja Aulis ovat pitkällä vaelluksella. Käveltyään eräänä päivänä kolmasosan päivämatkastaan he päättävät kävellä vielä 7 km ennen lounastaukoa. Lounaan jälkeen he huomaavat, että jäljellä on puolet aiotusta päivämatkasta. Kuinka pitkä aiottu päivämatka on?
6. Voiton tavoittelu 12 p.
Tarkastellaan jällenmyyjän tekemää voittoa. Yksinkertaisuuden vuoksi tehtävässä ei oteta verotusta huomioon.
Jälleenmyyjä maksoi takista tukkukauppiaalle 120 euroa. Takki ei mennyt kaupaksi, joten jälleenmyyjä alensi hintaa 10 %:a. Mikä takin myyntihinnan pitää olla, jotta 10 %:n alennuksen jälkeen jälleenmyyjä tekee 20 %:a voittoa? (6 p.)
Jälleenmyyjä maksoi juhlakengistä tukkukauppiaalle 140 euroa ja asetti kenkien hinnaksi 199 euroa. Kengät eivät kuitenkaan menneet kaupaksi tähän hintaan, joten jälleenmyyjä päätti alentaa hintaa. Mikä on suurin mahdollinen alennusprosentti, jos hän haluaa tehdä vähintään 20 %:a voittoa ja alennusprosentin pitää olla kokonaisluku? (6 p.)
7. Taloudellisempi auto 12 p.
Aineisto
Matti aikoo ostaa joko sähkö- tai polttomoottoriauton. Hän vertailee vaihtoehtoja taulukon 7.A arvioiden perusteella.
Matti tarvitsee auton koko hinnan suuruisen tasalyhennyslainan. Lainan vuosikorko on 2,4 % (jolloin kuukausikorko on 0,2 %) ja lyhennys 200 euroa kuukaudessa.
Laske autojen arvot ja jäljellä olevien lainojen määrät viiden vuoden kuluttua. Laske myös autojen käyttökustannukset ja lainojen korkokustannukset viiden vuoden aikana. Kumpi vaihtoehto olisi ollut viiden vuoden käytön jälkeen taloudellisempi valinta? Tehtävässä ei tarvitse ottaa huomioon rahan arvon muutosta, eli inflaatiota tai deflaatiota.
8. Suurin arvo 12 p.
Lukuun 10 lisätään erään positiivisen luvun neliön ja kuution erotus. Määritä derivaatan avulla suurin mahdollinen arvo, joka näin voidaan saada.
9. Monivalintakoe 12 p.
Kokeessa on 10 monivalintatehtävää. Jokaisessa tehtävässä on neljä vaihtoehtoa, joista vain yksi on oikein. Oikeasta vastauksesta saa 3 pistettä ja väärästä saa –1 pistettä. Lopuksi pisteet lasketaan yhteen, ja jos summa on negatiivinen, se muutetaan pistemääräksi nolla.
Eräs opiskelija ei osaa vastata yhteenkään tehtävään tietojensa pohjalta, ja hän vastaa kaikkiin tehtäviin arvaamalla. Millä todennäköisyydellä hän saa kokeesta nolla pistettä? (6 p.)
Toinen opiskelija pystyy sulkemaan jokaisesta tehtävästä pois yhden väärän vastausvaihtoehdon, ja hän vastaa kaikkiin tehtäviin arvaamalla jäljellä olevista vaihtoehdoista. Millä todennäköisyydellä hän saa kokeesta täydet pisteet? (6 p.)
B2-osa
Vastaa kolmeen tehtävään.10. Lukujono 12 p.
Lukujono alkaa luvuilla 4 ja 9. Kuinka moni lukujonon jäsen on pienempi kuin 1 000, jos lukujono on
aritmeettinen (6 p.)
geometrinen? (6 p.)
11. Virustartunnat 12 p.
Syksyllä 2020 koronaviruspandemian toisen aallon alkuvaiheessa Suomessa raportoitiin edeltävien kahden viikon (14 vuorokauden) aikana havaittujien tartuntatapausten lukumääriä. Tämä lukumäärä oli 7. syyskuuta 389 ja kaksi viikkoa myöhemmin 21. syyskuuta 719 koronavirustartuntaa. (Lähde: www.hs.fi. Luettu 21.9.2020.) Oletetaan, että havaittujen tartuntojen määrä noudattaa eksponentiaalista mallia.
Kuinka monta koronavirustartuntaa havaittiin mallin mukaan päivämäärää 8.1.2021 edeltävällä kahden viikon jaksolla? Tammikuun 8. päivä on 140 vuorokautta päivämäärän 21.9.2020 jälkeen. (4 p.)
Merkitään muuttujalla t aikaa vuorokausina niin, että päivämäärä 7.9.2020 vastaa arvoa t =0. Eksponentiaalisen mallin mukaan edeltävän kahden viikon aikana havaittujen tapausten lukumäärälle k pätee k =a *2^(b t). Määritä vakiot a ja b. (4 p.)
Pohdi syitä sille, miksi tässä tehtävässä käytetty malli ei ole hyvä ennuste tartuntamäärien kehitykselle pitkällä aikavälillä. (4 p.)
12. Myyntitulojen maksimointi 12 p.
Tuotteen nykyinen hinta on 60 euroa. Kauppias arvioi, että tällä hinnalla tuotetta myydään 1 000 kappaletta. Myyntituloja kasvattaakseen kauppias päättää muuttaa tuotteen hintaa. Vastaavan tuotteen myynnistä kertyneen kokemuksen perusteella kauppias arvioi, että jokainen euro, jolla tuotteen hinta nousee, vähentää myyntiä kymmenellä kappaleella. Vastaavasti jokainen euro, jolla tuotteen hintaa laskee, kasvattaa myyntiä kymmenellä kappaleella.
Kuinka suuret myyntitulot ovat, jos tuotteen hinta on 55 euroa? (2 p.)
Muodosta myyntituloja mallintava funktio f(x), kun x on tuotteen hinnan muutos, ja laske sen derivaatta f’(x). (5 p.)
Määritä se tuotteen hinta, jolla saadaan suurimmat mahdolliset myyntitulot. (5 p.)
13. Kuutioista monitahokkaita 12 p.
Aineisto
Puisen kuution särmän pituus on 2,0 cm. Tarkastellaan kahta monitahokasta, jotka saadaan sahaamalla pois kuutioiden nurkista pyramidin muotoiset kappaleet, alla kuvatuilla tavoilla, ks. kuva 13.A.
Piirretään kuution tahkoihin janat, jotka yhdistävät vierekkäisten särmien keskipisteet. Poistetaan kuution nurkista pyramidit, joiden pohjasärminä ovat piirretyt janat. Määritä näin saadun monitahokkaan tilavuus. (6 p.)
Piirretään kuution tahkoihin sellaiset janat, joiden päätepisteet ovat vierekkäisillä särmillä niin, että tahkoihin muodostuu säännöllinen 8-kulmio. Poistetaan kuution nurkista pyramidit, joiden pohjasärminä ovat piirretyt janat. Määritä näin saadun monitahokkaan pinta-ala. (6 p.)
Kokeen tehtävät loppuvat tähän.